דמיון משולשים – יחס דמיון, אורכים ושטחים3 יחידות 371 · שיעור 38

מתמטיקה 3 יחידות · שאלון 371

דמיון משולשים – יחס דמיון, אורכים ושטחים

פרק 6 – דמיון משולשים

1נוסח השאלה

2סעיף א – למה המשולשים דומים

3סעיף ב – יחס הדמיון

4סעיף ג – הצלעות EF ו־DF

5סעיף ד – יחס ההיקפים

6סעיף ה – שטח המשולש DEF

7סעיף א – גובה העץ

8סעיף ב – המרחק DF

📄 נוסח השאלה

סעיף א – למה המשולשים דומים

∢A = ∢D (נתון) ו־∢B = ∢E = 90° (נתון).

יש שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן המשולשים דומים:

📐 משפט דמיון ז.ז

△ABC ∼ △DEF

ההתאמה: A מתאים ל־D , B ל־E , C ל־F.

✅ פתרון סופי: דומים לפי ז.ז

📐 משפט דמיון ז.ז

שתי זוויות שוות בהתאמה ← המשולשים דומים

סעיף ב – יחס הדמיון

DE במשולש הגדול מתאימה ל־AB במשולש הקטן:

k = DEAB

📐 יחס דמיון

נציב DE = 9 , AB = 6:

k = 96 = 1.5

✅ פתרון סופי: k = 1.5

📐 יחס דמיון

k = צלע במשולש הגדולהצלע המתאימה בקטן

סעיף ג – הצלעות EF ו־DF

EF מתאימה ל־BC:

EFBC = k

נציב BC = 8 , k = 1.5:

EF8 = 1.5

EF = 1.5 · 8 = 12

DF מתאימה ל־AC:

סעיף ג – הצלעות EF ו־DF · המשך

DF מתאימה ל־AC:

DFAC = k

נציב AC = 10 , k = 1.5:

DF10 = 1.5

DF = 1.5 · 10 = 15

✅ פתרון סופי: EF = 12 ס"מ , DF = 15 ס"מ

סעיף ד – יחס ההיקפים

P_ABC = 6 + 8 + 10 = 24

P_DEF = 9 + 12 + 15 = 36

P₁P₂ = k

📐 יחס היקפים ויחס שטחים

P_DEFP_ABC = 3624 = 1.5

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון, כמו שציפינו.

✅ פתרון סופי: 1.5

📐 יחס היקפים ויחס שטחים

P₁P₂ = k
S₁S₂ = k²

סעיף ה – שטח המשולש DEF

קודם שטח המשולש הקטן (ישר זווית ב־B):

S_ABC = AB · BC2

📐 שטח משולש ישר זווית

נציב AB = 6 , BC = 8:

S_ABC = 6 · 82 = 24

יחס השטחים הוא k²:

S_DEFS_ABC = k²

📐 יחס היקפים ויחס שטחים

📐 שטח משולש ישר זווית

S = ניצב · ניצב2

📐 יחס היקפים ויחס שטחים

P₁P₂ = k
S₁S₂ = k²

סעיף ה – שטח המשולש DEF · המשך

S_DEFS_ABC = k²

📐 יחס היקפים ויחס שטחים

נציב S_ABC = 24 , k = 1.5:

S_DEF24 = 1.5²

S_DEF = 24 · 2.25 = 54

בדיקה: S_DEF = 9 · 122 = 54 ✓

✅ פתרון סופי: 54 סמ"ר

📐 יחס היקפים ויחס שטחים

P₁P₂ = k
S₁S₂ = k²

סעיף א – גובה העץ

שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן △ABC ∼ △DEF.

📐 משפט דמיון ז.ז

הצל EF מתאים לצל BC:

k = EFBC

📐 יחס דמיון

נציב EF = 8 , BC = 2:

k = 82 = 4

העץ DE מתאים למוט AB:

📐 משפט דמיון ז.ז

שתי זוויות שוות בהתאמה ← המשולשים דומים

📐 יחס דמיון

k = צלע במשולש הגדולהצלע המתאימה בקטן

סעיף א – גובה העץ · המשך

העץ DE מתאים למוט AB:

DEAB = k

נציב AB = 1.5 , k = 4:

DE1.5 = 4

DE = 4 · 1.5 = 6

✅ פתרון סופי: גובה העץ 6 מטרים

סעיף ב – המרחק DF

במשולש DEF הזווית E ישרה, ו־DF הוא היתר:

DF² = DE² + EF²

📐 משפט פיתגורס (c – היתר)

נציב DE = 6 , EF = 8:

DF² = 6² + 8²

DF² = 36 + 64 = 100

DF = √100 = 10

📐 משפט פיתגורס (c – היתר)

c² = a² + b²

סעיף ב – המרחק DF · המשך

DF = √100 = 10

✅ פתרון סופי: 10 מטרים

📌 סיכום התשובות

משפט דמיון

שתי זוויות שוות בהתאמה (ז.ז)

צלעות מתאימות

מול זוויות שוות

יחס דמיון k

צלע בגדולהצלע המתאימה בקטן

יחס היקפים

יחס שטחים

k²

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא